Subject: it.fan.dewdney: risposte ritrite
Date: 3 Nov 1998 06:46:00 +0100
From: mau@beatles.cselt.it (il moderatore della DEWDNEY)
Organization: e quando mai?
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Dewdney Answers v. 1.90 - 4 marzo 1998 [aggiunta R14]

Avete letto il file con i "Frequently Posted Problems" e non siete
riusciti a trovare le risposte ad alcuni problemi? Niente paura, noi siamo
buoni e alleghiamo (dopo un congruo numero di puntini per evitare spoiler)
le risposte in questo file.

               ciao, .mau.    (2:335/533.2, mau@beatles.cselt.it)

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R01:
   Il problema e` semplicemente mal posto. Il modo piu` semplice di
   vederlo e` notare che nelle 45000 pagate dagli amici ci stanno anche
   le 10000 lire che si e` intascato il cameriere.

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R02:
   Le terne di numeri il cui prodotto e` 36 (con le somme vicino) sono
   36-1-1 (38); 18-2-1 (21); 12-3-1 (16); 9-4-1 (14); 9-2-2 (13);
   6-6-1 (13); 6-3-2 (11); 4-3-3 (10).
   Il secondo matematico sa qual e` la somma (vede il numero della casa)
   ma non sa rispondere. Questo significa che la somma e` 13, l'unico
   numero che appare due volte. La seconda affermazione del primo
   matematico ci dice che la risposta giusta e` 9-2-2.

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R03:
   Il trucco qui e` il fatto che il presentatore non apre una porta a
   caso, ma ne sceglie una con una capra. Supponiamo di avere scelto la
   prima porta: in questo momento abbiamo probabilita` 1/3 che l'auto
   sia dietro una qualunque porta. Nei due casi in cui l'auto sia nella
   porta 2 o 3, il presentatore apre rispettivamente la porta 3 o 2, e se
   noi cambiamo scelta vinciamo (probabilita` 2/3); se avevao scelto la
   porta giusta, lui ne apre a caso una delle altre (probabilita` 1/6 per
   ciascuna) e se noi cambiamo perdiamo (probabilita` 1/3). Quindi ci
   conviene cambiare porta.

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R04:
   La risposta tipica e` "sette", perche` la parola "quattro" ha sette
   lettere. Come gia` scritto, le risposte possibili sono infinite...

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R05:
   Numerando il quadrato con le cifre da 1 a 9, la spezzata
   1-A-B-1-9 risolve il problema.

                        1  2  3  B
                        4  5  6
                        7  8  9
                        A

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R06:
   Siano le monete ABCDEFGHI. Si mettano ABC su un piatto e DEF
   sull'altro. Si danno tre casi:
   ABC piu` pesante -> la moneta e` tra ABC
   ABC piu` leggera -> la moneta e` tra DEF
   stesso peso -> la moneta e` tra GHI
   Si prenda ora il gruppo di tre monete, se ne metta una su ogni piatto e
   si ragioni allo stesso modo.

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R07:
   Supponiamo che le monete siano ABCDEFGHIJKL. Come primo tentativo, si
   confrontino ABCD e EFGH. Si danno tre casi:

   (1) ABCD = EFGH. Si confrontino allora IJ e KA. Di nuovo tre casi:
   (1.1) IJ = KA. La moneta diversa e` L; la si confronti con A per sapere
         se e` piu` pesante o piu` leggera.
   (1.2) IJ < KA. Si ha o (I<) o (J<) o (K>). Facciamo il confronto
         tra AB e IK.
   (1.3) IJ > KA. Si ha o (I>) o (J>) o (K<). Procediamo come nel caso
         precedente a confontare AB e IK.

   (2) ABCD > EFGH. La seconda pesata e` tra ABE e CDF. Si hanno di nuovo
       tre casi:
   (2.1) ABE = CDF. Si ha o (G<) o (H<). Si confronti A con G.
   (2.2) ABE > CDF. Si ha o (A>) o (B>) o (F<). Si confrontino AF e KL.
   (2.3) ABE < CDF. Si ha o (E<) o (C>) o (D>). Si confrontino CE e KL.

   (3) ABCD < EFGH. Si risolve come il caso (2)

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R08:
   I cornuti erano 15. Se ce ne fosse stato uno solo, questo l'avrebbe
   saputo non appena fatto il discorso, e quindi il giorno dopo si sarebbe
   presentato. Se ce ne fossero stati due, entrambi si sarebbero aspettati
   che l'altro si presentasse il giorno dopo; non vedendolo, capiscono di
   esserlo anche loro. Si va avanti cosi` per induzione, e si mostra che
   se i cornuti sono n, si presenteranno tutti il giorno n.

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R09:
   Basta una pesata. Prendete una moneta dal primo sacchetto, due dal
   secondo... 10 dal decimo e guardate quanti grammi mancano al totale di
   550 che si avrebbe se tutte le monete pesassero 10 grammi.

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R10:
   Certo, visto che il filo rimarra` sollevato di 100/(2 pi) ~= 16 cm e i
   gatti sono piuttosto flessuosi.

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R11:
   Il problema si risolve se N ed M sono primi tra loro, e la soluzione
   (non necessariamente la piu` breve) ricorda gli algoritmi di
   divisibilita`. Supponiamo per comodita` M < N per sapere qual e` il
   recipiente piu` piccolo. Versiamo acqua dal recipiente grande al
   piccolo fino a riempirlo, e a questo punto travasiamo l'acqua nel
   recipiente medio. Se a un certo punto esso ha N litri, siamo a posto;
   altrimenti prima o poi si riempie. Allora versiamo l'acqua dal medio al
   grande, e finiamo di travasare dal piccolo al medio. La situazione e`
   simile a quella iniziale, modulo una classe di resto (il numero di
   litri d'acqua nel recipiente medio). Ripetendo le operazioni da capo,
   scorreremo tutte le classi di resto, e quindi avremo anche a un certo
   punto il valore N cercato.

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R12:
   Il termine successivo e` 312211. Ogni termine si ricava dal precedente
   "spiegando cosa e` scritto": in 1112211 ci sono tre 1, due 2 e ancora
   due 1, quindi 3 1,2 2,2 1, quindi 312221.

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R13:
   Un mattone pesa due chilogrammi. (si`, e` molto pesante. E allora?)

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R14:
   Dipende :-)
   Non esiste una risposta univoca al quesito, perche` non esiste un modo
   univoco di definire "a caso" in questo contesto. Infatti, quando il
   numero dei possibili eventi e` infinito l'unico modo per calcolare una
   probabilita` e` trovare una distribuzione uniforme degli eventi. Pero`,
   se definiamo "una corda presa a caso"

   - come quella data da due punti presi a caso sulla circonferenza (quindi
     diamo una distribuzione uniforme sulla circonferenza stessa) la
     probabilita` e` 1/3 (fissa un punto, e costruisci il triangolo con un
     vertice in quel punto)
   - come quella il cui punto medio e` preso a caso all'interno della
     circonferenza (quindi diamo una distribuzione uniforme nel cerchio)
     la probabilita` e` 1/4 (costruisci la circonferenza inscritta al
     triangolo.  I punti al suo interno sono quelli che vuoi)
   - come quella scelta a caso tra le intersezioni di un fascio di rette
     parallele con la circonferenza (quindi diamo una distribuzione
     uniforme sul diametro) la probabilita` e` 1/2 (vedi sopra: il diametro
     della circonferenza inscritta e` la meta` di quello originale)

   Insomma, "attenti al caso!" (per i curiosi, questo e` il cosiddetto
   paradosso di Bertrand).

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R15:
   Non si puo`. Per dimostrarlo, si cominci a collegare solo A e B:
   il grafo ottenibile e` topologicamente equivalente a questo

       A
     / | \
    /  |  \
   /   |   \
  X    Y    Z
  \ 1  | 2  /
   \   |   /  3
    \  |  /
     \ | /
       B

   Bene: ora la casa C puo` essere nella regione 1, 2 o 3: in ogni caso,
   non si potra` raggiungere una delle altre regioni.
   (courtesy: Dario Uri)

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