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Archivio per la categoria 'Mautematica'


martedì 13 Aprile 2021, 09:14

La bella estate del 2020

Stamattina mi sono preso il tempo di scrivere un post lungo, ragionato e basato sui numeri a proposito delle riaperture estive. Qualsiasi cosa ne pensiate, vi prego di leggerlo fino in fondo prima di commentare.

Mi sono messo a scriverlo perché a proposito dell’estate vedo troppa faciloneria. Leggo: d’estate il virus non circola, l’anno scorso fino a settembre non ce n’era. Oppure: ma se l’anno scorso abbiamo fatto praticamente tutto quello che volevamo, vuoi che quest’anno coi vaccini non facciamo almeno lo stesso? Si dice: ma cosa aspetta il governo ad annunciare la riapertura di tutto da giugno? Nessuno concepisce l’idea di potersi trovare in zona rossa o anche solo gialla, coi ristoranti e le spiagge chiuse, fino ad agosto. Eppure, dal punto di vista strettamente sanitario sarebbe uno scenario realistico, e vediamo perché.

Cominciamo con lo sfatare alcuni miti sull’estate scorsa, grazie al grafico qui sotto. L’anno scorso, quando a inizio giugno si è riaperta la mobilità tra regioni, avevamo circa 300 nuovi casi al giorno, circa 2000 a settimana. In termini del parametro usato oggi per i colori, avevamo 3 (tre) casi settimanali per 100.000 abitanti.

Per confronto, la soglia dell’attuale zona bianca, che dovrebbe dare il via libera a tutto, è 50 casi per 100.000. Anche supponendo che l’estate scorsa ci sfuggissero molti più casi di oggi, parliamo di almeno un ordine di grandezza di differenza. Peraltro, l’unico esperimento di zona bianca coi parametri attuali è stato un disastro: la Sardegna ha retto due settimane. Insomma, l’agognata zona bianca di oggi non ha “pochi casi”; sono comunque tanti.

In termini di andamento, l’anno scorso a giugno l’epidemia ha continuato a ritirarsi, ma non a grande velocità. All’ultima settimana di giugno, quando la gente ha finito di avere paura e ha ricominciato a girare davvero, la discesa si è fermata e il trend si è stabilizzato per un paio di settimane. Abbiamo segnato il minimo di sempre il 14 luglio, con 114 casi. Di lì in poi, però, è subito partita la risalita esponenziale; a fine luglio avevamo 380 casi, a Ferragosto 629, il 23 agosto 1210. Lì abbiamo almeno chiuso le discoteche, e la risalita è rallentata un po’, ma non si è più fermata: 1733 casi il 4 settembre, 1907 il 18 settembre. Poi hanno riaperto le scuole e altra botta verticale: 2844 il 3 ottobre, 5724 il 10 ottobre. Il resto è storia.

Morale: non è affatto vero che d’estate il virus non circola, che il caldo lo uccide, che stando tutti all’aperto non c’è pericolo. Probabilmente l’estate rallenta un po’ il contagio, ma una volta che riapri quasi tutto (comunque l’estate scorsa erano chiusi gli stadi, i concerti, le sagre) l’esponenziale riparte anche in piena estate. Qui stiamo già parlando di riaprire gli stadi l’11 giugno: fate un po’ voi.

E’ indubbio che quest’anno ci sia una grande novità: i vaccini. Ma qual è l’effetto dei vaccini sul contagio? Indubbiamente è forte, come mostrano Israele e Regno Unito – ma solo se sono vaccinati quasi tutti. Peraltro, gli USA e il Cile dimostrano invece che anche a campagna vaccinale ben più avanzata della nostra è possibile una nuova ondata, se si eliminano troppe restrizioni. Nessuno sa ancora bene come funzioni questo effetto in termini quantitativi, ma proviamo a fare un modello.

Supponiamo che il vaccino sia efficace all’80% a prevenire il contagio in ogni forma, anche asintomatica, considerando anche che molti quest’estate avranno avuto una sola dose e quindi che l’efficacia sarà ridotta. Attualmente abbiamo dato almeno una dose a nove milioni di persone; realisticamente, a inizio giugno questo numero potrebbe essere arrivato attorno a venti milioni, forse venticinque se siamo molto bravi. In pratica, circa il 40% degli italiani avrà una probabilità di contagiarsi ridotta dell’80%, il che – supponendo, cosa peraltro non vera, che questi italiani siano mediamente quelli che poi vanno in giro durante l’estate – vuol dire una riduzione della probabilità media di contagio di circa un terzo (0,8*0,4).

Questa è una buona notizia se, come succede in questo periodo di restrizioni colorate, l’Rt è poco superiore a 1; in questo caso, una riduzione di un terzo lo fa scendere sotto 1 e fa spegnere l’epidemia. Se però siamo in condizioni di liberi tutti e tutto aperto, con un Rt di 1,5, 2, 2,5, l’effetto è al massimo quello di rallentare leggermente la crescita esponenziale. In altre parole, anche con la campagna vaccinale attuale, riaprendo tutto a inizio giugno è molto probabile che l’epidemia ripartirebbe rapidamente, come successe l’anno scorso da metà luglio in poi.

A inizio luglio, forse, potremmo essere arrivati a 30-35 milioni di vaccinati con almeno una dose, con una riduzione dell’Rt del 40%; a inizio agosto la riduzione potrebbe essere del 50%. Ma per un virus il cui R allo stato libero è stimato attorno a 3, continuerà a essere ancora troppo poco per eliminare tutte le restrizioni – anche se, da agosto, potrebbe bastare l’effetto delle mascherine, possibilmente FFP2, se solo tutti le portassero davvero.

C’è però ancora un’altra obiezione: visto che l’anno scorso anche con epidemia in espansione abbiamo vissuto tranquilli fino a fine settembre, non potremmo fare lo stesso? Restiamo chiusi fino a inizio giugno, abbattiamo i casi, e poi gestiamo l’estate cercando di non farli risalire troppo e di arrivare a settembre-ottobre, contando che per allora si arrivi alla famosa immunità di gregge; nel momento in cui il fattore di riduzione dovuto ai vaccini superasse i due terzi, si dovrebbe avere Rt minore di 1 anche senza restrizioni e l’epidemia morirebbe.

Bene, allora quanti casi pensiamo di avere a inizio giugno? La settimana scorsa è stata la prima in cui si è visto un calo netto: 20% di nuovi casi in meno rispetto alla settimana precedente, per un totale di “soli” centomila nuovi infetti. Supponiamo di andare avanti così per le sette settimane che ci separano da giugno; vuol dire una moltiplicazione per 0,8^7 = 0,21. In pratica, arriveremmo ad avere circa 21.000 casi settimanali, ossia circa 35 casi per 100.000 abitanti, sufficienti per la zona bianca ma dieci volte superiori a quelli con cui abbiamo riaperto tutto un anno fa.

Attenzione, però; perché noi, invece di tenere duro, dopo una settimana abbiamo già riaperto le scuole, con contestuale candida ammissione del ministro Speranza di come questo avrà un effetto sui contagi. Entro un paio di settimane cominceremo a riaprire a furor di popolo i ristoranti e i teatri. Con questa prospettiva, è difficile pensare che il calo continui a questo ritmo. Se supponiamo che il calo medio nelle prossime settimane sia del 10%, che comunque non è poco, arriveremo a inizio giugno con oltre 50.000 casi a settimana, con l’Italia ancora prevalentemente gialla ma la gente già con il canotto sul portapacchi della macchina.

Ma persino nel caso migliore, riaprire tutto a inizio giugno con 20.000 casi settimanali vuol dire comunque trovarsene magari nuovamente 100.000 a fine luglio. E poi che fai? Certo, i morti non dovrebbero essere molti e gli ospedali dovrebbero essere piuttosto liberi, avendo vaccinato gli anziani, ma bisogna essere pronti a cambiare completamente il nostro approccio.

Già, perché alla fine di questa lunga disamina il messaggio dovrebbe essere chiaro. Non sappiamo niente di certo, e magari quanto sopra si rivelerà completamente sbagliato, e succederà qualche miracolo per cui davvero l’estate farà sparire la malattia. Ma mettendo insieme un po’ di banale matematica e l’umore degli italiani, lo scenario più probabile è che a giugno – o al massimo a luglio, se Speranza tiene duro – si apra comunque tutto, e ci si appresti però a una estate ben diversa dalla scorsa, con il covid in circolazione ovunque e centinaia di migliaia di italiani contagiati, molti asintomatici e in giro. In questo scenario, bisogna essere preparati ad abbandonare il sistema dei colori e a non chiudere niente in nessun caso, nemmeno con numeri che anche solo oggi provocherebbero la zona rossa scura con macchie scarlatte e bubboni neri, e nemmeno con, comunque, decine di morti al giorno, forse anche di più.

Probabilmente è questo lo scenario che ha in mente il governo. Cioé no, un pezzo di governo secondo me pensa davvero di tenere chiuso fin che non arriviamo a cento casi al giorno, ma sono dei pazzi e finiranno politicamente linciati entro breve. Ma per il resto, questa mi sembra la strada più probabile; capite però perché il governo esiti ad annunciarla apertamente, visto che comunque c’è anche una grossa parte di Paese che si chiude in casa, invoca il manganello sui ristoratori e chiama i vigili se il vicino riceve due amici.

P.S. Come corollario, se avete più di sessant’anni io vi consiglio comunque di pianificare vacanze solo in luoghi ben isolati. Se non sarete vaccinati rischierete grosso, e se lo sarete, davvero volete rischiare di essere in quello sfortunato 5% su cui il vaccino ha poco effetto? Vedete voi.

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lunedì 1 Febbraio 2021, 13:57

Di regole e rischi di contagio

Vi chiedo perdono se questo post sarà un po’ lungo, ma spero che vi sarà anche utile a capire come funziona (o dovrebbe funzionare) la gestione di una pandemia. Nasce dal fatto che l’interessante discussione di ieri su Facebook sulla messa e sulle distanze in chiesa mi ha fatto accorgere di una cosa che non avevo ancora focalizzato.

Personalmente, durante questa pandemia, distinguo ciò che è pericoloso da ciò che non è pericoloso in base alla lettura regolare di report e articoli scientifici. Spesso, come è normale, i report si contraddicono un po’, ma ormai, dopo un anno, sappiamo con buona certezza diverse cose:

  • i contagi all’aria aperta sono molto improbabili, a meno che non ci si fermi a parlare con un positivo senza mascherina, o non si attraversi la nuvola di uno che ha appena tossito senza mascherina, o non si stia per mezz’ora tutti pigiati; del resto, nonostante i moralismi sui giornali, nessuno ha ancora mostrato legami statistici evidenti tra maxi assembramenti in piazza e forti ondate di contagi nella zona;
     
  • i contagi da superficie, toccando un oggetto su cui qualcuno ha lasciato del virus, sono altrettanto improbabili, anche se su questo i dati sono minori ed è comunque provato che il virus resiste per diversi giorni sulle superfici a temperatura ambiente, e ben di più a bassa temperatura (da qui i contagi nei mattatoi);
     
  • le situazioni di pericolo sono dunque principalmente quelle in cui si sta al chiuso per un periodo di tempo superiore a, diciamo, dieci minuti (c’è chi dice 5, c’è chi dice 15), e nella stanza c’è o c’è appena stato un infetto;
     
  • la probabilità di infettarsi dipende sia dall’efficacia della mascherina dell’infetto, sia dal tempo di permanenza, sia da quanto l’infetto è malato, in quanto alcune persone “super-spreader” emettono cariche infettive molto superiori alle altre, e pare che il 20% dei malati sia responsabile dell’80% dei contagi o giù di lì; dipende anche da cosa fa l’infetto, perché respirare normalmente emette relativamente poche particelle, mentre parlare (in particolare dicendo lettere tipo p e t), e ancora di più gridare o cantare, e ancora di più tossire, provoca una emissione di fiotti di particelle potenzialmente infette;
     
  • al chiuso, il fatto di mantenere le distanze è relativamente poco rilevante; la distanza minima di sicurezza, misurata sulla ricaduta di particelle sputate, sarebbe due metri (mentre noi, a differenza di altri paesi, ne abbiamo imposto uno, che è di suo insufficiente), ma va bene solo se non c’è circolazione d’aria; bastano una corrente d’aria o un condizionatore per trasportare le particelle anche a 5, 10, 20 metri di distanza attraverso una sala o un ufficio, come nel famoso diagramma del ristorante di Wuhan che vedete sotto, tanto che c’è anche chi dice che aerare le stanze con le persone dentro sia controproducente;
  • per questo, gli ambienti più pericolosi sono quelli chiusi in cui la gente “emette” particelle senza mascherina (ristoranti), in cui c’è tanta gente rispetto al volume, o in cui il ricambio d’aria è minimo (tipo un ascensore, se uno ci stesse dentro più di un minuto).

In base a tutto questo, io stimo il rischio di quello che sto per fare e mi comporto di conseguenza, decidendo se accettarlo o meno e come proteggermi.

Ieri ho invece scoperto un sacco di gente che applica un principio piuttosto diverso: se una cosa è permessa dalle regole è certamente sicura, altrimenti è molto pericolosa. Quindi, tu spieghi che c’è una situazione di pericolo e loro rispondono “quindi sono state violate le regole?”, tu dici che le regole erano rispettate e loro rispondono “allora certamente non c’è pericolo”.

Ora, non so bene come si faccia a essere ancora convinti di questo a fronte del fatto che le regole cambiano ogni settimana, e che cose indicate fino a un minuto prima come vietatissime sono d’incanto permesse o viceversa. Il punto delle regole restrittive infatti non è distinguere ciò che è sicuro da ciò che è pericoloso, ma gestire il rischio in maniera statistica.

Infatti, il numero di contagi ogni giorno è pari al numero di persone infette in circolazione moltiplicato per il rischio medio di contagio delle attività che fanno (rischio medio che si riflette direttamente sul famoso Rt). Immaginate di avere un tabellone in cui a ogni attività è associata una probabilità di contagio: sarà un insieme di valori sparsi per tutto il campo tra zero (nessun rischio) e uno (contagio sicuro). Permettendo o vietando una attività, in funzione anche di quanto tale attività è frequente, si altera il rischio medio complessivo delle attività di tutti.

Per questo motivo, se diminuisce il numero di persone infette in circolazione si possono permettere attività più rischiose, facendo risalire un po’ il rischio medio; viceversa, durante i momenti di picco bisogna ridurre il rischio medio vietando attività anche meno rischiose.

Naturalmente, un paese efficiente avrebbe un tracciamento efficiente e saprebbe stimare almeno un po’ il fattore di rischio di ciascuna attività. In Italia, invece, non si faceva bene il tracciamento nemmeno quando i casi erano dieci, figuriamoci oggi. Infatti, il governo non è mai stato in grado di produrre dati precisi su dove e come avvengono davvero i contagi; ogni tanto qualche ministro fa una sparata, citando vaghi numeri senza fonte purché utili alla sua propaganda. Ma i dati veri non sono mai stati pubblicati e non sono nemmeno emersi di straforo, segno che essenzialmente non ci sono proprio.

Per questo, le nostre scelte su cosa chiudere e cosa aprire vanno un po’ per imitazione di altri paesi più organizzati (vedi l’ansia di inseguire Merkel prima di Natale), parecchio per le fisime dei decisori e dei media, a cui “pare” che una cosa sia pericolosa e lo ripetono fin che non diventa ufficialmente tale, e molto per scelta politica, in base a chi accontentare e chi scontentare e ai costi in termini di consenso, prima ancora che economici.

In conclusione, non c’è dubbio che le regole siano utili e che vadano generalmente rispettate, e che nell’aggregato siano importanti per contenere la pandemia, ma riferirsi alle regole per capire cosa sia sicuro e cosa no non è una grande idea; men che meno la conclusione completamente errata a cui spesso arriva chi lo fa, cioè che la gestione della pandemia sia una questione di polizia, e che tutto si risolverebbe militarizzando le strade e le case in modo che tutte le regole siano rispettate alla lettera, cosa che secondo loro farebbe certamente scendere a zero i contagi.

Quando si discute invece di quanto un determinato comportamento sia davvero pericoloso, è bene invece lasciare stare le zone colorate del momento, e riferirsi soltanto alla meccanica di spostamento di piccole goccioline piene di virus; anche perché il virus non ha preferenze politiche né riguardi costituzionali, e si limita a spostarsi nell’aria e riprodursi più che può.

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domenica 22 Marzo 2020, 09:59

Una rapida analisi dei dati (2)

Per mantenere un po’ di ordine mentale in ciò che sta succedendo, ecco una nuova analisi dei dati matematici.

L’Italia è stata messa in “lockdown”, quello in vigore fino a ieri, tra domenica 8 e mercoledì 11 marzo. Come vi scrissi in un post di allora, qualsiasi misura ha un effetto sui contagi che nella realtà è immediato, ma nei numeri rilevati e comunicati alle sei di sera si vede con un ritardo legato al tempo di incubazione e di crescita dei sintomi fino al momento del tampone, che a Wuhan risultava essere mediamente di 12 giorni. Trattandosi di una media sulla somma di casi singoli, questo vuol dire che i primi effetti dovrebbero vedersi 9-10 giorni dopo, e poi aumentare ed essere pienamente efficaci dopo un paio di settimane.

L’obiettivo del “lockdown” è quello di far scendere il fattore R0 dell’epidemia, cioé il numero medio di persone contagiate da ogni infetto, sotto 1. Infatti, se R0<1 ogni nuovo infetto contagia meno di un’altra persona e quindi il numero dei nuovi casi tende a diminuire, fino ad azzerarsi; se R0>1 invece il numero tende ad aumentare e si ha una crescita di tipo esponenziale, in cui a essere costante non è il numero di nuovi casi, ma la percentuale dei nuovi casi rispetto al valore precedente.

Quindi, l’andamento dei nuovi casi ci dice se siamo riusciti a bloccare la diffusione esponenziale del virus oppure no; nel momento in cui R0 scende sotto 1, i nuovi casi dovrebbero stabilizzarsi in valore assoluto per qualche giorno e poi iniziare a scendere.

L’andamento nazionale è la somma degli andamenti dei vari focolai, ma vista anche la concentrazione dell’epidemia nelle zone chiuse per prima, ci aspettavamo che intorno al 18 marzo la crescita percentuale cominciasse a scendere, e che intorno a oggi il numero di casi iniziasse a stabilizzarsi. Questo era importante perché, come scrissi alla fine del post precedente, “sappiamo che un blocco stile Wuhan (cioé compresi uffici, fabbriche e tutti i negozi non strettamente vitali) funziona. Non sappiamo se funzioni un blocco come l’attuale”.

I dati, nella realtà, hanno fatto qualcosa di piuttosto imprevisto. La crescita percentuale fissa dell’esponenziale dei nuovi casi, che prima delle misure era del 20-25%, ha iniziato a scendere già attorno al 13 marzo, ma dal 16 si è assestata con impressionante regolarità attorno al 14% e non è più scesa. In pratica, da una settimana siamo ancora in fase di crescita esponenziale, soltanto più lenta, con un tempo di raddoppio di 5-6 giorni invece che di 2-3. In compenso, il cambio di trend che ci aspettavamo negli ultimi 3-4 giorni non è minimamente apparso.

Come interpretare questi dati? Ci sono diverse possibilità.

Una è che i nostri tempi di ritardo siano più lunghi del previsto, magari per problemi del nostro sistema di rilevamento dei casi, o perché ci vogliono diversi giorni perché la maggior parte della gente inizi davvero a rispettare le prescrizioni. Questo vorrebbe dire che gli effetti visti una settimana fa sono quelli delle misure prese l’ultima settimana di febbraio, e che vedremo quelli dell’8 marzo tra qualche giorno. Potrebbe dunque darsi che già il “lockdown” delle scorse settimane fosse sufficiente, e serva solo avere pazienza.

L’altra è invece che il “lockdown” applicato fino a ieri sia insufficiente a far scendere R0 sotto 1, e che questo calo sia già l’effetto delle misure dell’8 marzo, e che sia finito così, dimostrandosi largamente insufficiente. In questo secondo caso, vedremo continuare la crescita al 14% ancora per 10-12 giorni; magari un po’ meno, visto che i primi effetti in questa ipotesi si sarebbero visti cinque giorni dopo le prime misure. Poi, scopriremo gli effetti del nuovo lockdown più stretto deciso stanotte.

Il problema è che, se siamo nel secondo scenario, al punto attuale dell’epidemia ogni giorno di ritardo nell’introdurre misure più stringenti significa migliaia di morti in più. Applicando il 14% di crescita per dieci giorni a partire da oggi, si ottengono 145.000 nuovi casi e quasi 17.000 nuovi morti. Applicandolo invece a partire da ieri, con un solo giorno di anticipo si sarebbero potuti evitare (o fortemente ridurre) 25.000 casi e quasi 4.000 morti. E tutto questo senza considerare che in realtà l’effetto delle misure sul numero dei morti è ritardato rispetto a quello sui nuovi casi, e infatti i morti stanno tuttora salendo al 18-19%.

Capite dunque perché, nel dubbio, il governo si sia finalmente deciso a introdurre nuove restrizioni. A dire il vero, credo che il governo le abbia introdotte adesso per calcoli politici, perché le stavano già introducendo le Regioni con loro ordinanze e Conte non voleva perdere il ruolo di leader agli occhi degli italiani. Ad ogni modo, hanno un senso: se si vedrà un netto calo già nei prossimi giorni le si potrebbe parzialmente riconsiderare, altrimenti ce le terremo senz’altro per settimane.

Nel frattempo, ecco, se – a parte chi lavora nelle attività essenziali, e ha tutta la mia gratitudine – poteste cortesemente stare a casa quando non è strettamente necessario a sopravvivere, fareste un favore a tutti.

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lunedì 7 Giugno 2010, 21:23

Quando la matematica è razzista

Negli ultimi giorni si propaga per la rete un’ondata di sdegno – una delle tante, ormai sembra che la rete serva più che altro a propagare sdegno – derivante da questo articolo di Repubblica, in cui il giornale di De Benedetti (ormai equivalente di sinistra di Libero) denuncia con vibrante protesta il fatto che alcune società di assicurazione auto praticherebbero tariffe appositamente differenziate tra italiani e immigrati extracomunitari.

A prima vista una cosa del genere può effettivamente sembrare scandalosa, ma in realtà essa lo sarebbe soltanto se fosse il risultato di una scelta politica, indipendente dalla realtà delle cose. E invece, è il frutto di pura osservazione statistica: non solo secondo le compagnie, ma addirittura secondo l’associazione di categoria della polizia stradale, gli extracomunitari sono coinvolti in una quantità di incidenti proporzionalmente molto superiore agli italiani.

Da sempre, le assicurazioni auto variano le proprie tariffe in funzione dei propri modelli statistici, sviluppati da un punto di osservazione privilegiato – quello di chi può avere in mano un database di tutti o quasi gli incidenti stradali che avvengono in Italia. Non conta dunque soltanto il livello nella scala bonus/malus, ma la provincia in cui si risiede, il sesso, l’età, e un numero sempre più ampio di fattori.

Tutte queste differenziazioni potrebbero essere considerate discriminatorie: perché la stessa assicurazione deve costare molto di più se si vive a Napoli invece che ad Aosta? Non è una forma di razzismo contro i napoletani? E il fatto che le polizze costino di più ai giovani maschi e di meno alle donne anziane è il risultato ideologico di gerontocrazia e femminismo? Addirittura, una assicurazione, fattasi i propri conti, propone “70 giorni gratis a chi è nato negli anni ’70”: non è una ingiusta discriminazione verso chi è nato il 31 dicembre 1969?

In seconda analisi, dunque, il caso montato da Repubblica si rivela come il classico sensazionalismo da giornale politicizzato: si prende una cosa tutto sommato normale e la si sovraccarica di significati ideologici per infiammare le folle. Se è vero che gli extracomunitari presentano tassi di incidentalità più elevati degli altri, è addirittura più equo che paghino tariffe più elevate; e se proprio c’è del razzismo, vorrà dire che ad essere razzista è la statistica.

E però, anche così la questione non è sufficientemente approfondita. Infatti, il principio di base delle assicurazioni è quello di condividere il rischio; tanti pagano mentre pochi ricevono, in base a un principio di solidarietà preventiva per cui ognuno preferisce pagare una piccola cifra che va a vantaggio di altri in caso non faccia incidenti, piuttosto che rischiare di doverne sborsare una grande in caso l’incidente tocchi a lui.

In teoria, perché un sistema assicurativo sia in equilibrio, la somma di tutti i premi pagati dovrebbe coincidere con il valore di tutti gli indennizzi da corrispondere a chi subisce un danno (in pratica la somma dei premi deve essere superiore, per permettere di coprire i costi operativi dell’assicurazione e il suo margine di guadagno). La cifra complessiva da raccogliere per pagare tutti gli indennizzi viene poi suddivisa cercando di far pagare di più chi rischia di più; e qui interviene la statistica, analizzando i tassi di incidentalità dei singoli gruppi di persone e la loro numerosità. Ed è assolutamente normale che gruppi diversi presentino valori diversi in questi due parametri, e portino dunque a tariffe diverse.

Peccato che la scelta di come suddividere le persone sia però totalmente arbitraria! Io potrei decidere di dividere quelli con gli occhi neri da quelli con gli occhi azzurri; verrebbe magari fuori che chi ha occhi azzurri fa mediamente più incidenti, e a questo punto potrei affibbiare loro una tariffa più elevata. Sarebbe equo? Statisticamente sì, perché chi ha gli occhi azzurri fa più incidenti; e per la matematica ciò è sufficiente a stabilire una correlazione tra le due variabili.

Una correlazione matematica non implica un rapporto di causa ed effetto – entrambi i fenomeni osservati potrebbero essere effetti di qualcos’altro – ma qualche influenza ci dovrà pur essere, se no risulterebbe che, su un numero sufficientemente grande di casi, l’incidentalità delle persone con occhi azzurri sarebbe uguale a quella delle persone con occhi neri. Per essere equo, dovrei dunque calcolare quanto costano gli incidenti provocati dagli occhi azzurri, dividere per il numero di persone e trovare così il giusto premio per assicurare gli occhi azzurri; analogamente, calcolerei un premio diverso per le persone con gli occhi neri.

Ma a quel punto si potrebbe andare oltre: tra le persone con gli occhi azzurri, potremmo distinguere quelle alte e quelle basse; e all’interno di ogni categoria, distinguere ancora delle sottocategorie sempre più piccole, ad esempio per fasce di altezza di un centimetro alla volta; e poi introdurre altri fattori. Anzi, man mano che suddividiamo il campione in gruppi sempre più piccoli, probabilmente le differenze aumenteranno, perché il numero di casi a disposizione per calcolare le statistiche sarà sempre più ridotto, e la casualità avrà un peso sempre maggiore.

Ma supponiamo comunque di poter sempre disporre di un grande numero di casi, tale da fornire dati statisticamente affidabili: a quel punto, possiamo portare il ragionamento all’estremo. Per raggiungere la massima equità, dovremmo avere gruppi di una persona sola, la quale dovrebbe pagare un premio equo pari al totale degli incidenti da sè provocati diviso il numero di persone nel gruppo (uno). In pratica, la massima equità si ha se ognuno si paga da solo i propri incidenti, abolendo le assicurazioni.

Peccato che in questo modo venga completamente meno il principio che sta alla base dell’idea stessa di assicurazione: la solidarietà reciproca, o, come si sarebbe detto nell’Ottocento, la mutua assicurazione.

Potremmo dunque pensare che tutta questa suddivisione in categorie, distruggendo la solidarietà, sia in realtà ingiusta: e andare all’estremo opposto, ovvero quello di abolire qualsiasi distinzione e far pagare a tutti gli italiani lo stesso premio assicurativo, indipendentemente da dove vivono, quanti anni hanno… e soprattutto, da come guidano. Così, però, sarebbe evidente un’altra ingiustizia: perché io, guidatore coscienzioso e prudente, devo pagare cifre elevate per coprire i risarcimenti degli incidenti provocati da persone che non sanno guidare o che guidano in maniera incosciente?

C’è, infatti, un problema alla base di quasi tutti i tipi di assicurazione: in ogni sinistro c’è una componente di disgrazia imprevedibile e inevitabile, ma c’è anche una componente di capacità e di volontà del danneggiato. Senza arrivare al problema degli incidenti-truffa, messi in piedi o gonfiati per arricchirsi con il risarcimento, l’assicurazione deve comunque coprire gli effetti di entrambi questi fattori: uno che, essendo slegato dalla volontà personale, porterebbe alla massima solidarietà e dunque a un premio uguale per tutti; un altro che, dipendendo direttamente dal danneggiato, porterebbe a diversificare il più possibile il premio per categorie o addirittura ad abolire l’assicurazione stessa.

Qual è dunque un sistema oggettivo, scientifico ed equo di determinare i premi dell’assicurazione auto? Beh, mi sembra chiaro che non esiste: qualsiasi scelta sarà sempre arbitraria e contestabile. Nell’arbitrarietà, ci sta anche che si decida che certi criteri non possono venire usati per diversificare i premi, forzando dunque la solidarietà dei più virtuosi verso i meno. Basta che si sia coscienti che sono tutte scelte politiche, e che comportano tutte un danno economico per alcuni e un vantaggio economico per altri, mettendo direttamente le mani nelle tasche degli italiani.

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giovedì 9 Luglio 2009, 22:43

Il grande disastro del carrello dei prosciutti

Pisa, si sa, è infestata di matematici. Devono averne assoldato uno persino per definire i sensi unici all’interno della città: infatti essi adottano uno schema unico al mondo, secondo il quale praticamente ad ogni incrocio ciascuna via inverte il senso di marcia. In questo modo non vi sono quasi mai semafori o incroci con precedenza, ma ci si trova spesso davanti a “incroci frontali” in cui le auto convergono da due direzioni opposte e svoltano obbligatoriamente, riunendosi in una delle due direzioni laterali. Si capisce che è un principio ideato da un matematico perché è assolutamente geniale e perfetto sulla carta, ma quando ti ci trovi in mezzo nella pratica diventa un incubo: andare “verso là” è impossibile in quanto dopo uno o due isolati vieni subito fatto girare di novanta gradi, e il dover percorrere continue e gigantesche chicane fatte di interi isolati solo per andare diritto è una esperienza davvero perversa.

Alla luce di questo, si spiega anche la scenetta di Odifreddi che entra nella sala colazione dell’albergo, mentre noi siamo lì che mangiamo, e non si accorge del buffet e della macchina del caffé a disposizione dei clienti, inseguendo vanamente un cameriere pieno di tovaglie sporche per ordinare che gli venisse fatto un tè. D’altra parte, mi viene difficile definire Odifreddi un matematico: nel suo intervento stamattina ha parlato di qualsiasi cosa, strappando gli applausi della platea – composta dall’intellighenzia della pubblica amministrazione e dell’accademia della Toscana – ricordando che tutti si lamentano dell’Iran ma la bomba atomica l’hanno sganciata solo gli americani; argomentazione fine e poco poco populista. A un certo punto ha anche motivato un argomento spiegando che “in politica diciamo così”… Del resto dopo di lui c’era nel panel Ignazio Marino, neo-candidato alla segreteria del PD, che peraltro ha fatto un intervento che a me è piaciuto molto, tutto centrato sulla libertà di scelta in materia di bioetica.

Insomma, questo convegno di San Rossore è davvero eccellente e i relatori sono di altissimo livello; non ho resistito e mi son fatto fotografare accanto al pannello che reca i nomi degli intervenuti e che, a causa della disposizione su tre colonne, reca scritto “VITTORIO BERTOLA [tab] MARGHERITA HACK”: accoppiati dal destino con molto piacere. La tenuta presidenziale è bellissima e tirava pure un piacevole venticello che rendeva il caldo quasi sopportabile, almeno al di fuori dei tendoni dove si svolgono gli incontri. Il mio panel era presieduto dal vicepresidente della Regione Toscana, Gelli, un medico che ha parlato di tutti gli sforzi della Regione per portare la larga banda ovunque, riconoscendo questo come un diritto, e per collegare tutti gli ospedali con linee a 100 Mbps; io ho parlato di copyright, creative commons, peer-to-peer e natura orizzontale della rete. Il pubblico era attento ed è stato davvero un piacere partecipare.

C’è però un unico, spiacevole incidente che si è verificato e che per dovere di cronaca non posso non riportare; quello che un umorista inglese definirebbe il grande disastro del carrello dei prosciutti. Gli è che, come purtroppo è norma in Italia (abitudine che sconvolge sempre gli ospiti stranieri), il programma della mattinata era in ritardo di solo un’ora e mezza; grazie alla logorrea del relatore italiano medio (tanto più quanto più è un famoso accademico) e all’idea che far rispettare i tempi prestabiliti sia per un moderatore un atto di grande sgarbo personale verso il relatore logorroico, la mattinata invece di finire verso l’una è finita alle 14:20.

La tenuta è isolata a chilometri dalla città, dunque era previsto un buffet per tutti i partecipanti; e per ovvi motivi di finesse culinaria nonché di correttezza ideologica, la sua organizzazione è stata affidata al locale gruppo di Slow Food.

Adesso immaginatevi la scena: immaginate circa trecento persone, prevalentemente tra i quaranta e i sessant’anni, che stanno morendo di fame da un pezzo, e che si trovano di fronte a un bancone nemmeno troppo lungo dietro il quale si trovano una decina di persone in elegante divisa bianca, a ognuna delle quale è stato assegnato un compito quale il tagliare con finezza, cura e soprattutto grande lentezza una fettina di eccezionale prosciutto toscano, o di salame, o di formaggio, o di focaccia o di alcune altre cose, per poi guarnirla e disporla su un vassoio d’argento. Ecco, io sono un esperto internazionale di buffet plundering, ma non ho mai visto nulla del genere; dirigenti pubblici azzuffarsi per una fetta di pane; distinte signore darsi di gomito e spintonarsi per un pezzo di pecorino; giovani adirarsi coi vecchi per la loro lentezza, e vecchi adirarsi coi giovani per la loro destrezza; bambini piangenti implorare un po’ di pietà e del cibo, anche solo una scodellina di ceci o la pappa col pomodoro.

In tutto questo, io ho sfruttato esperienza, abilità e intelligenza per infilarmi in ogni pertugio e procacciare rapidamente una notevole quantità di cibo per me e per la mia compagna. D’altra parte, si sa, siamo piccoli e deboli; per sopravvivere non possiamo che sfruttare l’astuzia.

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giovedì 8 Gennaio 2009, 18:07

Logica torinese

Anche oggi, da parte degli amministratori torinesi, ci sono dei capolavori di logica che non vorrei fossero andati perduti.

Il primo è il presidente della Provincia Antonio Saitta, alle prese col piccolo problema di aver già finito il sale da spargere sulle strade – ma non in questa nevicata: l’aveva già finito durante quella di Natale. Lui si scusa così: dice che la situazione è difficile perché quest’anno le scorte sono finite prima ancora che cominciasse l’inverno. E si sa, le scorte crescono solo in alcuni selezionatissimi presidi Slow Food, se questo è un anno in cui il raccolto di scorte è magro che ci possiamo fare? Ma poi ci spiega l’arcano: “Le scorte si fanno sulla media delle precipitazioni degli ultimi cinque anni”.

Ora, se la matematica non è un’opinione, dato che per definizione metà delle volte le precipitazioni sono superiori alla media, un anno su due si rimarrà senza sale; se poi capita l’anno statisticamente peggiore, ecco che le scorte finiscono già prima di Natale. Ma Saitta l’avrà mai sentita raccontare la favola della formica e della cicala?

L’altro creativo delle argomentazioni logiche è il presidente di Unioncamere Ferruccio Dardanello, che unendosi al coro pro-Tav fa il seguente ragionamento:

1) Nevica, quindi “alcuni valichi” sono bloccati, in particolare (lui non lo dice, ma potete leggere ad esempio il comunicato della società Autostrade) è vietata la circolazione dei TIR in Liguria e nelle province di Cuneo, Asti e Alessandria, mentre sia il Frejus che il Monte Bianco sono regolarmente agibili;

2) I TIR piemontesi hanno costi più elevati perché per arrivare in Francia devono fare percorsi più lunghi, rendendo i nostri prodotti meno competitivi sul mercato francese;

3) Dunque è urgente costruire una ferrovia ad alta velocità tra Torino e Lione.

Perfettamente logico, no? Cioè, se per due giorni è bloccata l’autostrada per Savona e per Genova, c’è un “gap strutturale” che impedisce ai TIR di attraversare le Alpi verso Lione e Ginevra; e per rendere i TIR più veloci bisogna costruire un treno, su cui presumibilmente i TIR si trasferiranno per magia e sfrecceranno grazie alla nota rapidità e flessibilità dei treni merci, che peraltro sarebbero già disponibili ora (la linea attuale è semivuota) ma non li vuole nessuno.

Tutto questo, ricordiamolo, per poter consegnare “i prodotti piemontesi” in Francia impiegandoci mezz’ora in meno, visto che altrimenti non sarebbero competitivi: sapete com’è, al concessionario Fiat di Lione arriva una bisarca di Punto e lui è purtroppo costretto a rimandarle indietro perché ci hanno messo mezz’ora di troppo e ormai sono marce, altrimenti le avrebbe vendute come il pane. Peccato, perché noi siamo già svantaggiati dai “tragitti così lunghi” verso la Francia: mica come le aziende del Nord-Est o dell’Est Europeo, che la Francia ce l’hanno lì a un’ora di macchina!

Solo il continuo lavaggio del cervello a cui siamo sottoposti fa sì che centinaia di migliaia di persone avranno letto stamattina questi articoli pensando “però, hanno proprio ragione, ci vorrebbe proprio un treno veloce per portare i TIR attraverso la muraglia di neve!”.

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lunedì 29 Dicembre 2008, 15:44

Furbate autostradali (2)

Sicuramente è un bene che alla società Autostrade lavorino anche persone dalla mentalità matematica, in grado di valutare ed esprimere con precisione scientifica le varie situazioni. Talvolta, però, sarebbe opportuno accorgersi che i termini del linguaggio matematico, pur se tecnicamente corretti, risultano fuori luogo e perlomeno buffi, se non poco comprensibili, all’utente della strada; per questo sono rimasto un po’ perplesso, ripercorrendo per la terza volta la Torino-Savona in tempi di ghiaccio e neve, a trovarmi di fronte poco dopo Mondovì un gigantesco pannello recante la scritta “TEMPERATURE NEGATIVE – GUIDATE CON PRUDENZA”.

E se per me, invece, le temperature sotto lo zero fossero un accadimento positivo?

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martedì 26 Agosto 2008, 15:00

No ma prego, eh!

È sempre bello essere sul piede di partenza per un lungo volo aereo verso l’Africa, e beccarsi nel giro di pochi giorni il disastro di Madrid, quello di Bishkek, l’ATR Air Dolomiti che ho preso un sacco di volte che si incendia al decollo da Franz-Josef-Strauss, e un jumbo Ryanair che perde pressione e fa di corsa un atterraggio d’emergenza a Limoges

Comunque è quel che si chiama un grappolo statistico: se non fosse appena successo un evento grave, quelli meno gravi probabilmente non sarebbero apparsi sui giornali. Invece, questa settimana fa notizia persino una bottiglia di salsa ai funghi scambiata per acido da terroristi…

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martedì 8 Luglio 2008, 11:15

A ruote ferme

Mi è successo in questo weekend di guardare per un po’ le prove e la gara del Gran Premio d’Inghilterra: infatti ero molto stanco, e non c’è niente che faccia addormentare come la Formula Uno.

Anche in questa occasione, come in passato, mi è capitato di essere incuriosito da un fenomeno fisico semplice ma piuttosto particolare. Frequentemente capita che la regia mostri per un certo periodo le immagini in soggettiva prese dalla telecamerina posta sull’automobile stessa. Queste immagini sono piuttosto particolari, perchè, siccome la telecamera è fissata all’oggetto in movimento, esso appare fermo: in pratica la macchina non si muove, e si vedono soltanto l’agitarsi del pilota e lo scorrere della pista e del paesaggio sui bordi.

Si tratta di una condizione dinamica molto interessante, non solo perché semplifica la costruzione dell’immagine (tanto è vero che i videogiochi di Formula Uno in soggettiva sono arrivati abbastanza presto, ben prima di quelli in cui l’immagine tridimensionale è generata dall’esterno).

In questo sistema di riferimento, c’è un solo elemento del veicolo che si muove: le ruote. Esse, come da definizione, ruotano; e anche molto velocemente, visto che la velocità della ruota è uguale e contraria a quella dell’auto sul terreno. Le ruote di Formula Uno differiscono da quelle normali per tante cose, ma anche per un particolare: per ovvi motivi pubblicitari, hanno il nome del produttore scritto con grande evidenza e in bianco, sia all’esterno che all’interno.

A macchina in movimento, è impossibile leggere il nome; la ruota sta muovendosi a un paio di centinaia di chilometri orari… Ciò nonostante, si vede chiaramente il movimento di quella macchia bianca sull’interno della ruota; ed è un movimento che incuriosisce, perché agisce secondo logiche proprie. Capita infatti che mentre la macchina accelera la rotazione della macchia bianca rallenti, e a un certo punto si fermi e addirittura cominci a ruotare all’indietro! In televisione si vede benissimo; su Youtube un po’ meno a causa della compressione, ma potete vederlo ad esempio in questo filmato, almeno nei tratti in cui una delle due ruote ha la luce a favore.

Incuriosito, durante il Gran Premio mi sono messo ad elaborare un modello matematico per determinare le leggi secondo cui si muove la macchia bianca in questo particolare tipo di inquadratura.

Per prima cosa, bisogna osservare che noi non vediamo il moto direttamente, ma attraverso una telecamera; essa riprende la scena con una frequenza f. (A seconda delle tecniche di ripresa, può darsi che, anche in un singolo fotogramma, il momento in cui viene ripreso l’angolo in alto a sinistra della scena non sia lo stesso in cui viene ripreso l’angolo in basso a destra; tuttavia notiamo che, visto che la telecamera è fissata all’auto, le ruote sono sempre nello stesso punto dell’immagine, quindi ciò è per noi irrilevante.)

In questo intervallo di tempo – che è sufficientemente piccolo da poter assumere che l’auto si sposti a velocità costante, persino per le accelerazioni da Formula Uno – la scritta bianca percorre nella sua rotazione uno spazio pari a s = v*t = v/f, dove v è la velocità della vettura. Questo spostamento sarà composto da un numero intero non negativo k di rotazioni complete, più uno spostamento di posizione apparente Δp; è proprio quest’ultimo che noi percepiamo. Non ci interessa se tra un fotogramma e l’altro la scritta ha ruotato dieci volte completamente; se si ritrova nello stesso punto di prima, a noi sembrerà ferma.

Esistono quindi varie velocità – al variare del valore di k, ossia del numero di rotazioni complete compiute tra due fotogrammi successivi – per cui la scritta appare ferma. Infatti, scomponendo lo spazio percorso nel modo sopra descritto, ossia come s = k*Ï€*d + Δp, dove d è il diametro delle ruote (quindi Ï€*d è la circonferenza della ruota), la velocità per cui la ruota è ferma (ossia Δp = 0) è quella per cui v/f = k*Ï€*d con un qualsiasi valore intero di k da zero a infinito. Per k=0 la velocità è zero, ossia la scritta è ferma perché la macchina è ferma; e va bene. Per il resto, si tratta di velocità multiple di una velocità stazionaria base vs ottenuta per k=1, ossia vs = Ï€*d*f.

Se invece lo spostamento apparente Δp è compreso tra zero e metà circonferenza, ci sembrerà che la scritta si sia spostata in avanti. Le velocità v per cui la scritta appare spostarsi in avanti si ottengono quindi imponendo 0 < Δp < d*Ï€/2, ossia k*vs < v < (k+1/2)*vs per k intero da zero a infinito. Similmente, le velocità per cui la scritta appare spostarsi all’indietro sono quelle per cui d*Ï€/2 < Δp < d*Ï€, ossia (k+1/2)*vs < v < (k+1)*vs per k intero da zero a infinito.

Ipotizzando che il diametro delle ruote all’altezza della scritta sia di circa 35 centimetri, e che la frequenza di ripresa sia pari ai canonici 50 Hz televisivi, si ottiene vs = 197,9 km/h. Ottenuto questo valore, sono rimasto un po’ perplesso: difatti si tratta di una velocità piuttosto elevata, mentre guardando le immagini si vede che la velocità stazionaria viene attraversata relativamente spesso, anche in frenate piuttosto secche.

Alla fine, credo di avere risolto il problema: in effetti sulle gomme non vi è una sola scritta, ma ce ne sono due, di dimensioni più o meno simili e in posizione simmetrica rispetto al centro della ruota. Dunque è presumibile che al nostro occhio, durante la rotazione, le due scritte risultino tra loro indistinguibili, e che quindi una mezza rotazione risulti uguale a nessuna rotazione, riportando la macchia bianca nella stessa posizione. Del resto noi vediamo comunque solo la metà superiore delle ruote, mentre il resto è coperto dall’interno della vettura: quindi vediamo comunque una sola macchia bianca per fotogramma.

A questo punto, basta esprimere lo spostamento apparente come la differenza rispetto a un numero intero di mezze rotazioni, e si ottiene che valgono ancora tutte le (dis)equazioni già espresse, ma riferendole a una velocità stazionaria pari a metà di quella precedente: 99 km/h.

C’è poi una ulteriore correzione da fare: in realtà, la velocità della ruota nel punto della scritta non è pari a quella dell’auto, perché la scritta non si trova sul bordo della gomma; trattandosi di una rotazione, tra la velocità lineare della scritta e quella del bordo della gomma – e quindi dell’auto – vi è un rapporto pari a quello tra le distanze dei due punti dal centro della ruota. A occhio, sarà quindi il caso di aggiungere un 10-20% alle velocità indicate.

In pratica, quando vedete la scritta invertire il suo verso apparente di rotazione l’auto ha appena superato la soglia dei 110-120 km/h, oppure dei 220-240 km/h: un modo empirico di misurarne la velocità.

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