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Archivio per la categoria 'Mautematica'


domenica 22 Marzo 2020, 09:59

Una rapida analisi dei dati (2)

Per mantenere un po’ di ordine mentale in ciò che sta succedendo, ecco una nuova analisi dei dati matematici.

L’Italia è stata messa in “lockdown”, quello in vigore fino a ieri, tra domenica 8 e mercoledì 11 marzo. Come vi scrissi in un post di allora, qualsiasi misura ha un effetto sui contagi che nella realtà è immediato, ma nei numeri rilevati e comunicati alle sei di sera si vede con un ritardo legato al tempo di incubazione e di crescita dei sintomi fino al momento del tampone, che a Wuhan risultava essere mediamente di 12 giorni. Trattandosi di una media sulla somma di casi singoli, questo vuol dire che i primi effetti dovrebbero vedersi 9-10 giorni dopo, e poi aumentare ed essere pienamente efficaci dopo un paio di settimane.

L’obiettivo del “lockdown” è quello di far scendere il fattore R0 dell’epidemia, cioé il numero medio di persone contagiate da ogni infetto, sotto 1. Infatti, se R0<1 ogni nuovo infetto contagia meno di un’altra persona e quindi il numero dei nuovi casi tende a diminuire, fino ad azzerarsi; se R0>1 invece il numero tende ad aumentare e si ha una crescita di tipo esponenziale, in cui a essere costante non è il numero di nuovi casi, ma la percentuale dei nuovi casi rispetto al valore precedente.

Quindi, l’andamento dei nuovi casi ci dice se siamo riusciti a bloccare la diffusione esponenziale del virus oppure no; nel momento in cui R0 scende sotto 1, i nuovi casi dovrebbero stabilizzarsi in valore assoluto per qualche giorno e poi iniziare a scendere.

L’andamento nazionale è la somma degli andamenti dei vari focolai, ma vista anche la concentrazione dell’epidemia nelle zone chiuse per prima, ci aspettavamo che intorno al 18 marzo la crescita percentuale cominciasse a scendere, e che intorno a oggi il numero di casi iniziasse a stabilizzarsi. Questo era importante perché, come scrissi alla fine del post precedente, “sappiamo che un blocco stile Wuhan (cioé compresi uffici, fabbriche e tutti i negozi non strettamente vitali) funziona. Non sappiamo se funzioni un blocco come l’attuale”.

I dati, nella realtà, hanno fatto qualcosa di piuttosto imprevisto. La crescita percentuale fissa dell’esponenziale dei nuovi casi, che prima delle misure era del 20-25%, ha iniziato a scendere già attorno al 13 marzo, ma dal 16 si è assestata con impressionante regolarità attorno al 14% e non è più scesa. In pratica, da una settimana siamo ancora in fase di crescita esponenziale, soltanto più lenta, con un tempo di raddoppio di 5-6 giorni invece che di 2-3. In compenso, il cambio di trend che ci aspettavamo negli ultimi 3-4 giorni non è minimamente apparso.

Come interpretare questi dati? Ci sono diverse possibilità.

Una è che i nostri tempi di ritardo siano più lunghi del previsto, magari per problemi del nostro sistema di rilevamento dei casi, o perché ci vogliono diversi giorni perché la maggior parte della gente inizi davvero a rispettare le prescrizioni. Questo vorrebbe dire che gli effetti visti una settimana fa sono quelli delle misure prese l’ultima settimana di febbraio, e che vedremo quelli dell’8 marzo tra qualche giorno. Potrebbe dunque darsi che già il “lockdown” delle scorse settimane fosse sufficiente, e serva solo avere pazienza.

L’altra è invece che il “lockdown” applicato fino a ieri sia insufficiente a far scendere R0 sotto 1, e che questo calo sia già l’effetto delle misure dell’8 marzo, e che sia finito così, dimostrandosi largamente insufficiente. In questo secondo caso, vedremo continuare la crescita al 14% ancora per 10-12 giorni; magari un po’ meno, visto che i primi effetti in questa ipotesi si sarebbero visti cinque giorni dopo le prime misure. Poi, scopriremo gli effetti del nuovo lockdown più stretto deciso stanotte.

Il problema è che, se siamo nel secondo scenario, al punto attuale dell’epidemia ogni giorno di ritardo nell’introdurre misure più stringenti significa migliaia di morti in più. Applicando il 14% di crescita per dieci giorni a partire da oggi, si ottengono 145.000 nuovi casi e quasi 17.000 nuovi morti. Applicandolo invece a partire da ieri, con un solo giorno di anticipo si sarebbero potuti evitare (o fortemente ridurre) 25.000 casi e quasi 4.000 morti. E tutto questo senza considerare che in realtà l’effetto delle misure sul numero dei morti è ritardato rispetto a quello sui nuovi casi, e infatti i morti stanno tuttora salendo al 18-19%.

Capite dunque perché, nel dubbio, il governo si sia finalmente deciso a introdurre nuove restrizioni. A dire il vero, credo che il governo le abbia introdotte adesso per calcoli politici, perché le stavano già introducendo le Regioni con loro ordinanze e Conte non voleva perdere il ruolo di leader agli occhi degli italiani. Ad ogni modo, hanno un senso: se si vedrà un netto calo già nei prossimi giorni le si potrebbe parzialmente riconsiderare, altrimenti ce le terremo senz’altro per settimane.

Nel frattempo, ecco, se – a parte chi lavora nelle attività essenziali, e ha tutta la mia gratitudine – poteste cortesemente stare a casa quando non è strettamente necessario a sopravvivere, fareste un favore a tutti.

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lunedì 7 Giugno 2010, 21:23

Quando la matematica è razzista

Negli ultimi giorni si propaga per la rete un’ondata di sdegno – una delle tante, ormai sembra che la rete serva più che altro a propagare sdegno – derivante da questo articolo di Repubblica, in cui il giornale di De Benedetti (ormai equivalente di sinistra di Libero) denuncia con vibrante protesta il fatto che alcune società di assicurazione auto praticherebbero tariffe appositamente differenziate tra italiani e immigrati extracomunitari.

A prima vista una cosa del genere può effettivamente sembrare scandalosa, ma in realtà essa lo sarebbe soltanto se fosse il risultato di una scelta politica, indipendente dalla realtà delle cose. E invece, è il frutto di pura osservazione statistica: non solo secondo le compagnie, ma addirittura secondo l’associazione di categoria della polizia stradale, gli extracomunitari sono coinvolti in una quantità di incidenti proporzionalmente molto superiore agli italiani.

Da sempre, le assicurazioni auto variano le proprie tariffe in funzione dei propri modelli statistici, sviluppati da un punto di osservazione privilegiato – quello di chi può avere in mano un database di tutti o quasi gli incidenti stradali che avvengono in Italia. Non conta dunque soltanto il livello nella scala bonus/malus, ma la provincia in cui si risiede, il sesso, l’età, e un numero sempre più ampio di fattori.

Tutte queste differenziazioni potrebbero essere considerate discriminatorie: perché la stessa assicurazione deve costare molto di più se si vive a Napoli invece che ad Aosta? Non è una forma di razzismo contro i napoletani? E il fatto che le polizze costino di più ai giovani maschi e di meno alle donne anziane è il risultato ideologico di gerontocrazia e femminismo? Addirittura, una assicurazione, fattasi i propri conti, propone “70 giorni gratis a chi è nato negli anni ’70”: non è una ingiusta discriminazione verso chi è nato il 31 dicembre 1969?

In seconda analisi, dunque, il caso montato da Repubblica si rivela come il classico sensazionalismo da giornale politicizzato: si prende una cosa tutto sommato normale e la si sovraccarica di significati ideologici per infiammare le folle. Se è vero che gli extracomunitari presentano tassi di incidentalità più elevati degli altri, è addirittura più equo che paghino tariffe più elevate; e se proprio c’è del razzismo, vorrà dire che ad essere razzista è la statistica.

E però, anche così la questione non è sufficientemente approfondita. Infatti, il principio di base delle assicurazioni è quello di condividere il rischio; tanti pagano mentre pochi ricevono, in base a un principio di solidarietà preventiva per cui ognuno preferisce pagare una piccola cifra che va a vantaggio di altri in caso non faccia incidenti, piuttosto che rischiare di doverne sborsare una grande in caso l’incidente tocchi a lui.

In teoria, perché un sistema assicurativo sia in equilibrio, la somma di tutti i premi pagati dovrebbe coincidere con il valore di tutti gli indennizzi da corrispondere a chi subisce un danno (in pratica la somma dei premi deve essere superiore, per permettere di coprire i costi operativi dell’assicurazione e il suo margine di guadagno). La cifra complessiva da raccogliere per pagare tutti gli indennizzi viene poi suddivisa cercando di far pagare di più chi rischia di più; e qui interviene la statistica, analizzando i tassi di incidentalità dei singoli gruppi di persone e la loro numerosità. Ed è assolutamente normale che gruppi diversi presentino valori diversi in questi due parametri, e portino dunque a tariffe diverse.

Peccato che la scelta di come suddividere le persone sia però totalmente arbitraria! Io potrei decidere di dividere quelli con gli occhi neri da quelli con gli occhi azzurri; verrebbe magari fuori che chi ha occhi azzurri fa mediamente più incidenti, e a questo punto potrei affibbiare loro una tariffa più elevata. Sarebbe equo? Statisticamente sì, perché chi ha gli occhi azzurri fa più incidenti; e per la matematica ciò è sufficiente a stabilire una correlazione tra le due variabili.

Una correlazione matematica non implica un rapporto di causa ed effetto – entrambi i fenomeni osservati potrebbero essere effetti di qualcos’altro – ma qualche influenza ci dovrà pur essere, se no risulterebbe che, su un numero sufficientemente grande di casi, l’incidentalità delle persone con occhi azzurri sarebbe uguale a quella delle persone con occhi neri. Per essere equo, dovrei dunque calcolare quanto costano gli incidenti provocati dagli occhi azzurri, dividere per il numero di persone e trovare così il giusto premio per assicurare gli occhi azzurri; analogamente, calcolerei un premio diverso per le persone con gli occhi neri.

Ma a quel punto si potrebbe andare oltre: tra le persone con gli occhi azzurri, potremmo distinguere quelle alte e quelle basse; e all’interno di ogni categoria, distinguere ancora delle sottocategorie sempre più piccole, ad esempio per fasce di altezza di un centimetro alla volta; e poi introdurre altri fattori. Anzi, man mano che suddividiamo il campione in gruppi sempre più piccoli, probabilmente le differenze aumenteranno, perché il numero di casi a disposizione per calcolare le statistiche sarà sempre più ridotto, e la casualità avrà un peso sempre maggiore.

Ma supponiamo comunque di poter sempre disporre di un grande numero di casi, tale da fornire dati statisticamente affidabili: a quel punto, possiamo portare il ragionamento all’estremo. Per raggiungere la massima equità, dovremmo avere gruppi di una persona sola, la quale dovrebbe pagare un premio equo pari al totale degli incidenti da sè provocati diviso il numero di persone nel gruppo (uno). In pratica, la massima equità si ha se ognuno si paga da solo i propri incidenti, abolendo le assicurazioni.

Peccato che in questo modo venga completamente meno il principio che sta alla base dell’idea stessa di assicurazione: la solidarietà reciproca, o, come si sarebbe detto nell’Ottocento, la mutua assicurazione.

Potremmo dunque pensare che tutta questa suddivisione in categorie, distruggendo la solidarietà, sia in realtà ingiusta: e andare all’estremo opposto, ovvero quello di abolire qualsiasi distinzione e far pagare a tutti gli italiani lo stesso premio assicurativo, indipendentemente da dove vivono, quanti anni hanno… e soprattutto, da come guidano. Così, però, sarebbe evidente un’altra ingiustizia: perché io, guidatore coscienzioso e prudente, devo pagare cifre elevate per coprire i risarcimenti degli incidenti provocati da persone che non sanno guidare o che guidano in maniera incosciente?

C’è, infatti, un problema alla base di quasi tutti i tipi di assicurazione: in ogni sinistro c’è una componente di disgrazia imprevedibile e inevitabile, ma c’è anche una componente di capacità e di volontà del danneggiato. Senza arrivare al problema degli incidenti-truffa, messi in piedi o gonfiati per arricchirsi con il risarcimento, l’assicurazione deve comunque coprire gli effetti di entrambi questi fattori: uno che, essendo slegato dalla volontà personale, porterebbe alla massima solidarietà e dunque a un premio uguale per tutti; un altro che, dipendendo direttamente dal danneggiato, porterebbe a diversificare il più possibile il premio per categorie o addirittura ad abolire l’assicurazione stessa.

Qual è dunque un sistema oggettivo, scientifico ed equo di determinare i premi dell’assicurazione auto? Beh, mi sembra chiaro che non esiste: qualsiasi scelta sarà sempre arbitraria e contestabile. Nell’arbitrarietà, ci sta anche che si decida che certi criteri non possono venire usati per diversificare i premi, forzando dunque la solidarietà dei più virtuosi verso i meno. Basta che si sia coscienti che sono tutte scelte politiche, e che comportano tutte un danno economico per alcuni e un vantaggio economico per altri, mettendo direttamente le mani nelle tasche degli italiani.

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giovedì 9 Luglio 2009, 22:43

Il grande disastro del carrello dei prosciutti

Pisa, si sa, è infestata di matematici. Devono averne assoldato uno persino per definire i sensi unici all’interno della città: infatti essi adottano uno schema unico al mondo, secondo il quale praticamente ad ogni incrocio ciascuna via inverte il senso di marcia. In questo modo non vi sono quasi mai semafori o incroci con precedenza, ma ci si trova spesso davanti a “incroci frontali” in cui le auto convergono da due direzioni opposte e svoltano obbligatoriamente, riunendosi in una delle due direzioni laterali. Si capisce che è un principio ideato da un matematico perché è assolutamente geniale e perfetto sulla carta, ma quando ti ci trovi in mezzo nella pratica diventa un incubo: andare “verso là” è impossibile in quanto dopo uno o due isolati vieni subito fatto girare di novanta gradi, e il dover percorrere continue e gigantesche chicane fatte di interi isolati solo per andare diritto è una esperienza davvero perversa.

Alla luce di questo, si spiega anche la scenetta di Odifreddi che entra nella sala colazione dell’albergo, mentre noi siamo lì che mangiamo, e non si accorge del buffet e della macchina del caffé a disposizione dei clienti, inseguendo vanamente un cameriere pieno di tovaglie sporche per ordinare che gli venisse fatto un tè. D’altra parte, mi viene difficile definire Odifreddi un matematico: nel suo intervento stamattina ha parlato di qualsiasi cosa, strappando gli applausi della platea – composta dall’intellighenzia della pubblica amministrazione e dell’accademia della Toscana – ricordando che tutti si lamentano dell’Iran ma la bomba atomica l’hanno sganciata solo gli americani; argomentazione fine e poco poco populista. A un certo punto ha anche motivato un argomento spiegando che “in politica diciamo così”… Del resto dopo di lui c’era nel panel Ignazio Marino, neo-candidato alla segreteria del PD, che peraltro ha fatto un intervento che a me è piaciuto molto, tutto centrato sulla libertà di scelta in materia di bioetica.

Insomma, questo convegno di San Rossore è davvero eccellente e i relatori sono di altissimo livello; non ho resistito e mi son fatto fotografare accanto al pannello che reca i nomi degli intervenuti e che, a causa della disposizione su tre colonne, reca scritto “VITTORIO BERTOLA [tab] MARGHERITA HACK”: accoppiati dal destino con molto piacere. La tenuta presidenziale è bellissima e tirava pure un piacevole venticello che rendeva il caldo quasi sopportabile, almeno al di fuori dei tendoni dove si svolgono gli incontri. Il mio panel era presieduto dal vicepresidente della Regione Toscana, Gelli, un medico che ha parlato di tutti gli sforzi della Regione per portare la larga banda ovunque, riconoscendo questo come un diritto, e per collegare tutti gli ospedali con linee a 100 Mbps; io ho parlato di copyright, creative commons, peer-to-peer e natura orizzontale della rete. Il pubblico era attento ed è stato davvero un piacere partecipare.

C’è però un unico, spiacevole incidente che si è verificato e che per dovere di cronaca non posso non riportare; quello che un umorista inglese definirebbe il grande disastro del carrello dei prosciutti. Gli è che, come purtroppo è norma in Italia (abitudine che sconvolge sempre gli ospiti stranieri), il programma della mattinata era in ritardo di solo un’ora e mezza; grazie alla logorrea del relatore italiano medio (tanto più quanto più è un famoso accademico) e all’idea che far rispettare i tempi prestabiliti sia per un moderatore un atto di grande sgarbo personale verso il relatore logorroico, la mattinata invece di finire verso l’una è finita alle 14:20.

La tenuta è isolata a chilometri dalla città, dunque era previsto un buffet per tutti i partecipanti; e per ovvi motivi di finesse culinaria nonché di correttezza ideologica, la sua organizzazione è stata affidata al locale gruppo di Slow Food.

Adesso immaginatevi la scena: immaginate circa trecento persone, prevalentemente tra i quaranta e i sessant’anni, che stanno morendo di fame da un pezzo, e che si trovano di fronte a un bancone nemmeno troppo lungo dietro il quale si trovano una decina di persone in elegante divisa bianca, a ognuna delle quale è stato assegnato un compito quale il tagliare con finezza, cura e soprattutto grande lentezza una fettina di eccezionale prosciutto toscano, o di salame, o di formaggio, o di focaccia o di alcune altre cose, per poi guarnirla e disporla su un vassoio d’argento. Ecco, io sono un esperto internazionale di buffet plundering, ma non ho mai visto nulla del genere; dirigenti pubblici azzuffarsi per una fetta di pane; distinte signore darsi di gomito e spintonarsi per un pezzo di pecorino; giovani adirarsi coi vecchi per la loro lentezza, e vecchi adirarsi coi giovani per la loro destrezza; bambini piangenti implorare un po’ di pietà e del cibo, anche solo una scodellina di ceci o la pappa col pomodoro.

In tutto questo, io ho sfruttato esperienza, abilità e intelligenza per infilarmi in ogni pertugio e procacciare rapidamente una notevole quantità di cibo per me e per la mia compagna. D’altra parte, si sa, siamo piccoli e deboli; per sopravvivere non possiamo che sfruttare l’astuzia.

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giovedì 8 Gennaio 2009, 18:07

Logica torinese

Anche oggi, da parte degli amministratori torinesi, ci sono dei capolavori di logica che non vorrei fossero andati perduti.

Il primo è il presidente della Provincia Antonio Saitta, alle prese col piccolo problema di aver già finito il sale da spargere sulle strade – ma non in questa nevicata: l’aveva già finito durante quella di Natale. Lui si scusa così: dice che la situazione è difficile perché quest’anno le scorte sono finite prima ancora che cominciasse l’inverno. E si sa, le scorte crescono solo in alcuni selezionatissimi presidi Slow Food, se questo è un anno in cui il raccolto di scorte è magro che ci possiamo fare? Ma poi ci spiega l’arcano: “Le scorte si fanno sulla media delle precipitazioni degli ultimi cinque anni”.

Ora, se la matematica non è un’opinione, dato che per definizione metà delle volte le precipitazioni sono superiori alla media, un anno su due si rimarrà senza sale; se poi capita l’anno statisticamente peggiore, ecco che le scorte finiscono già prima di Natale. Ma Saitta l’avrà mai sentita raccontare la favola della formica e della cicala?

L’altro creativo delle argomentazioni logiche è il presidente di Unioncamere Ferruccio Dardanello, che unendosi al coro pro-Tav fa il seguente ragionamento:

1) Nevica, quindi “alcuni valichi” sono bloccati, in particolare (lui non lo dice, ma potete leggere ad esempio il comunicato della società Autostrade) è vietata la circolazione dei TIR in Liguria e nelle province di Cuneo, Asti e Alessandria, mentre sia il Frejus che il Monte Bianco sono regolarmente agibili;

2) I TIR piemontesi hanno costi più elevati perché per arrivare in Francia devono fare percorsi più lunghi, rendendo i nostri prodotti meno competitivi sul mercato francese;

3) Dunque è urgente costruire una ferrovia ad alta velocità tra Torino e Lione.

Perfettamente logico, no? Cioè, se per due giorni è bloccata l’autostrada per Savona e per Genova, c’è un “gap strutturale” che impedisce ai TIR di attraversare le Alpi verso Lione e Ginevra; e per rendere i TIR più veloci bisogna costruire un treno, su cui presumibilmente i TIR si trasferiranno per magia e sfrecceranno grazie alla nota rapidità e flessibilità dei treni merci, che peraltro sarebbero già disponibili ora (la linea attuale è semivuota) ma non li vuole nessuno.

Tutto questo, ricordiamolo, per poter consegnare “i prodotti piemontesi” in Francia impiegandoci mezz’ora in meno, visto che altrimenti non sarebbero competitivi: sapete com’è, al concessionario Fiat di Lione arriva una bisarca di Punto e lui è purtroppo costretto a rimandarle indietro perché ci hanno messo mezz’ora di troppo e ormai sono marce, altrimenti le avrebbe vendute come il pane. Peccato, perché noi siamo già svantaggiati dai “tragitti così lunghi” verso la Francia: mica come le aziende del Nord-Est o dell’Est Europeo, che la Francia ce l’hanno lì a un’ora di macchina!

Solo il continuo lavaggio del cervello a cui siamo sottoposti fa sì che centinaia di migliaia di persone avranno letto stamattina questi articoli pensando “però, hanno proprio ragione, ci vorrebbe proprio un treno veloce per portare i TIR attraverso la muraglia di neve!”.

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lunedì 29 Dicembre 2008, 15:44

Furbate autostradali (2)

Sicuramente è un bene che alla società Autostrade lavorino anche persone dalla mentalità matematica, in grado di valutare ed esprimere con precisione scientifica le varie situazioni. Talvolta, però, sarebbe opportuno accorgersi che i termini del linguaggio matematico, pur se tecnicamente corretti, risultano fuori luogo e perlomeno buffi, se non poco comprensibili, all’utente della strada; per questo sono rimasto un po’ perplesso, ripercorrendo per la terza volta la Torino-Savona in tempi di ghiaccio e neve, a trovarmi di fronte poco dopo Mondovì un gigantesco pannello recante la scritta “TEMPERATURE NEGATIVE – GUIDATE CON PRUDENZA”.

E se per me, invece, le temperature sotto lo zero fossero un accadimento positivo?

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martedì 26 Agosto 2008, 15:00

No ma prego, eh!

È sempre bello essere sul piede di partenza per un lungo volo aereo verso l’Africa, e beccarsi nel giro di pochi giorni il disastro di Madrid, quello di Bishkek, l’ATR Air Dolomiti che ho preso un sacco di volte che si incendia al decollo da Franz-Josef-Strauss, e un jumbo Ryanair che perde pressione e fa di corsa un atterraggio d’emergenza a Limoges

Comunque è quel che si chiama un grappolo statistico: se non fosse appena successo un evento grave, quelli meno gravi probabilmente non sarebbero apparsi sui giornali. Invece, questa settimana fa notizia persino una bottiglia di salsa ai funghi scambiata per acido da terroristi…

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martedì 8 Luglio 2008, 11:15

A ruote ferme

Mi è successo in questo weekend di guardare per un po’ le prove e la gara del Gran Premio d’Inghilterra: infatti ero molto stanco, e non c’è niente che faccia addormentare come la Formula Uno.

Anche in questa occasione, come in passato, mi è capitato di essere incuriosito da un fenomeno fisico semplice ma piuttosto particolare. Frequentemente capita che la regia mostri per un certo periodo le immagini in soggettiva prese dalla telecamerina posta sull’automobile stessa. Queste immagini sono piuttosto particolari, perchè, siccome la telecamera è fissata all’oggetto in movimento, esso appare fermo: in pratica la macchina non si muove, e si vedono soltanto l’agitarsi del pilota e lo scorrere della pista e del paesaggio sui bordi.

Si tratta di una condizione dinamica molto interessante, non solo perché semplifica la costruzione dell’immagine (tanto è vero che i videogiochi di Formula Uno in soggettiva sono arrivati abbastanza presto, ben prima di quelli in cui l’immagine tridimensionale è generata dall’esterno).

In questo sistema di riferimento, c’è un solo elemento del veicolo che si muove: le ruote. Esse, come da definizione, ruotano; e anche molto velocemente, visto che la velocità della ruota è uguale e contraria a quella dell’auto sul terreno. Le ruote di Formula Uno differiscono da quelle normali per tante cose, ma anche per un particolare: per ovvi motivi pubblicitari, hanno il nome del produttore scritto con grande evidenza e in bianco, sia all’esterno che all’interno.

A macchina in movimento, è impossibile leggere il nome; la ruota sta muovendosi a un paio di centinaia di chilometri orari… Ciò nonostante, si vede chiaramente il movimento di quella macchia bianca sull’interno della ruota; ed è un movimento che incuriosisce, perché agisce secondo logiche proprie. Capita infatti che mentre la macchina accelera la rotazione della macchia bianca rallenti, e a un certo punto si fermi e addirittura cominci a ruotare all’indietro! In televisione si vede benissimo; su Youtube un po’ meno a causa della compressione, ma potete vederlo ad esempio in questo filmato, almeno nei tratti in cui una delle due ruote ha la luce a favore.

Incuriosito, durante il Gran Premio mi sono messo ad elaborare un modello matematico per determinare le leggi secondo cui si muove la macchia bianca in questo particolare tipo di inquadratura.

Per prima cosa, bisogna osservare che noi non vediamo il moto direttamente, ma attraverso una telecamera; essa riprende la scena con una frequenza f. (A seconda delle tecniche di ripresa, può darsi che, anche in un singolo fotogramma, il momento in cui viene ripreso l’angolo in alto a sinistra della scena non sia lo stesso in cui viene ripreso l’angolo in basso a destra; tuttavia notiamo che, visto che la telecamera è fissata all’auto, le ruote sono sempre nello stesso punto dell’immagine, quindi ciò è per noi irrilevante.)

In questo intervallo di tempo – che è sufficientemente piccolo da poter assumere che l’auto si sposti a velocità costante, persino per le accelerazioni da Formula Uno – la scritta bianca percorre nella sua rotazione uno spazio pari a s = v*t = v/f, dove v è la velocità della vettura. Questo spostamento sarà composto da un numero intero non negativo k di rotazioni complete, più uno spostamento di posizione apparente Δp; è proprio quest’ultimo che noi percepiamo. Non ci interessa se tra un fotogramma e l’altro la scritta ha ruotato dieci volte completamente; se si ritrova nello stesso punto di prima, a noi sembrerà ferma.

Esistono quindi varie velocità – al variare del valore di k, ossia del numero di rotazioni complete compiute tra due fotogrammi successivi – per cui la scritta appare ferma. Infatti, scomponendo lo spazio percorso nel modo sopra descritto, ossia come s = k*Ï€*d + Δp, dove d è il diametro delle ruote (quindi Ï€*d è la circonferenza della ruota), la velocità per cui la ruota è ferma (ossia Δp = 0) è quella per cui v/f = k*Ï€*d con un qualsiasi valore intero di k da zero a infinito. Per k=0 la velocità è zero, ossia la scritta è ferma perché la macchina è ferma; e va bene. Per il resto, si tratta di velocità multiple di una velocità stazionaria base vs ottenuta per k=1, ossia vs = Ï€*d*f.

Se invece lo spostamento apparente Δp è compreso tra zero e metà circonferenza, ci sembrerà che la scritta si sia spostata in avanti. Le velocità v per cui la scritta appare spostarsi in avanti si ottengono quindi imponendo 0 < Δp < d*Ï€/2, ossia k*vs < v < (k+1/2)*vs per k intero da zero a infinito. Similmente, le velocità per cui la scritta appare spostarsi all’indietro sono quelle per cui d*Ï€/2 < Δp < d*Ï€, ossia (k+1/2)*vs < v < (k+1)*vs per k intero da zero a infinito.

Ipotizzando che il diametro delle ruote all’altezza della scritta sia di circa 35 centimetri, e che la frequenza di ripresa sia pari ai canonici 50 Hz televisivi, si ottiene vs = 197,9 km/h. Ottenuto questo valore, sono rimasto un po’ perplesso: difatti si tratta di una velocità piuttosto elevata, mentre guardando le immagini si vede che la velocità stazionaria viene attraversata relativamente spesso, anche in frenate piuttosto secche.

Alla fine, credo di avere risolto il problema: in effetti sulle gomme non vi è una sola scritta, ma ce ne sono due, di dimensioni più o meno simili e in posizione simmetrica rispetto al centro della ruota. Dunque è presumibile che al nostro occhio, durante la rotazione, le due scritte risultino tra loro indistinguibili, e che quindi una mezza rotazione risulti uguale a nessuna rotazione, riportando la macchia bianca nella stessa posizione. Del resto noi vediamo comunque solo la metà superiore delle ruote, mentre il resto è coperto dall’interno della vettura: quindi vediamo comunque una sola macchia bianca per fotogramma.

A questo punto, basta esprimere lo spostamento apparente come la differenza rispetto a un numero intero di mezze rotazioni, e si ottiene che valgono ancora tutte le (dis)equazioni già espresse, ma riferendole a una velocità stazionaria pari a metà di quella precedente: 99 km/h.

C’è poi una ulteriore correzione da fare: in realtà, la velocità della ruota nel punto della scritta non è pari a quella dell’auto, perché la scritta non si trova sul bordo della gomma; trattandosi di una rotazione, tra la velocità lineare della scritta e quella del bordo della gomma – e quindi dell’auto – vi è un rapporto pari a quello tra le distanze dei due punti dal centro della ruota. A occhio, sarà quindi il caso di aggiungere un 10-20% alle velocità indicate.

In pratica, quando vedete la scritta invertire il suo verso apparente di rotazione l’auto ha appena superato la soglia dei 110-120 km/h, oppure dei 220-240 km/h: un modo empirico di misurarne la velocità.

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