Near a tree

Mi è successo in questo weekend di guardare per un po’ le prove e la gara del Gran Premio d’Inghilterra: infatti ero molto stanco, e non c’è niente che faccia addormentare come la Formula Uno.

Anche in questa occasione, come in passato, mi è capitato di essere incuriosito da un fenomeno fisico semplice ma piuttosto particolare. Frequentemente capita che la regia mostri per un certo periodo le immagini in soggettiva prese dalla telecamerina posta sull’automobile stessa. Queste immagini sono piuttosto particolari, perchè, siccome la telecamera è fissata all’oggetto in movimento, esso appare fermo: in pratica la macchina non si muove, e si vedono soltanto l’agitarsi del pilota e lo scorrere della pista e del paesaggio sui bordi.

Si tratta di una condizione dinamica molto interessante, non solo perché semplifica la costruzione dell’immagine (tanto è vero che i videogiochi di Formula Uno in soggettiva sono arrivati abbastanza presto, ben prima di quelli in cui l’immagine tridimensionale è generata dall’esterno).

In questo sistema di riferimento, c’è un solo elemento del veicolo che si muove: le ruote. Esse, come da definizione, ruotano; e anche molto velocemente, visto che la velocità della ruota è uguale e contraria a quella dell’auto sul terreno. Le ruote di Formula Uno differiscono da quelle normali per tante cose, ma anche per un particolare: per ovvi motivi pubblicitari, hanno il nome del produttore scritto con grande evidenza e in bianco, sia all’esterno che all’interno.

A macchina in movimento, è impossibile leggere il nome; la ruota sta muovendosi a un paio di centinaia di chilometri orari… Ciò nonostante, si vede chiaramente il movimento di quella macchia bianca sull’interno della ruota; ed è un movimento che incuriosisce, perché agisce secondo logiche proprie. Capita infatti che mentre la macchina accelera la rotazione della macchia bianca rallenti, e a un certo punto si fermi e addirittura cominci a ruotare all’indietro! In televisione si vede benissimo; su Youtube un po’ meno a causa della compressione, ma potete vederlo ad esempio in questo filmato, almeno nei tratti in cui una delle due ruote ha la luce a favore.

Incuriosito, durante il Gran Premio mi sono messo ad elaborare un modello matematico per determinare le leggi secondo cui si muove la macchia bianca in questo particolare tipo di inquadratura.

Per prima cosa, bisogna osservare che noi non vediamo il moto direttamente, ma attraverso una telecamera; essa riprende la scena con una frequenza f. (A seconda delle tecniche di ripresa, può darsi che, anche in un singolo fotogramma, il momento in cui viene ripreso l’angolo in alto a sinistra della scena non sia lo stesso in cui viene ripreso l’angolo in basso a destra; tuttavia notiamo che, visto che la telecamera è fissata all’auto, le ruote sono sempre nello stesso punto dell’immagine, quindi ciò è per noi irrilevante.)

In questo intervallo di tempo – che è sufficientemente piccolo da poter assumere che l’auto si sposti a velocità costante, persino per le accelerazioni da Formula Uno – la scritta bianca percorre nella sua rotazione uno spazio pari a s = v*t = v/f, dove v è la velocità della vettura. Questo spostamento sarà composto da un numero intero non negativo k di rotazioni complete, più uno spostamento di posizione apparente Δp; è proprio quest’ultimo che noi percepiamo. Non ci interessa se tra un fotogramma e l’altro la scritta ha ruotato dieci volte completamente; se si ritrova nello stesso punto di prima, a noi sembrerà ferma.

Esistono quindi varie velocità – al variare del valore di k, ossia del numero di rotazioni complete compiute tra due fotogrammi successivi – per cui la scritta appare ferma. Infatti, scomponendo lo spazio percorso nel modo sopra descritto, ossia come s = k*Ï€*d + Δp, dove d è il diametro delle ruote (quindi Ï€*d è la circonferenza della ruota), la velocità per cui la ruota è ferma (ossia Δp = 0) è quella per cui v/f = k*Ï€*d con un qualsiasi valore intero di k da zero a infinito. Per k=0 la velocità è zero, ossia la scritta è ferma perché la macchina è ferma; e va bene. Per il resto, si tratta di velocità multiple di una velocità stazionaria base v_s ottenuta per k=1, ossia v_s = Ï€*d*f.

Se invece lo spostamento apparente Δp è compreso tra zero e metà circonferenza, ci sembrerà che la scritta si sia spostata in avanti. Le velocità v per cui la scritta appare spostarsi in avanti si ottengono quindi imponendo 0 < Δp < d*Ï€/2, ossia k*v_s < v < (k+1/2)*v_s per k intero da zero a infinito. Similmente, le velocità per cui la scritta appare spostarsi all’indietro sono quelle per cui d*Ï€/2 < Δp < d*Ï€, ossia (k+1/2)*v_s < v < (k+1)*v_s per k intero da zero a infinito.

Ipotizzando che il diametro delle ruote all’altezza della scritta sia di circa 35 centimetri, e che la frequenza di ripresa sia pari ai canonici 50 Hz televisivi, si ottiene v_s = 197,9 km/h. Ottenuto questo valore, sono rimasto un po’ perplesso: difatti si tratta di una velocità piuttosto elevata, mentre guardando le immagini si vede che la velocità stazionaria viene attraversata relativamente spesso, anche in frenate piuttosto secche.

Alla fine, credo di avere risolto il problema: in effetti sulle gomme non vi è una sola scritta, ma ce ne sono due, di dimensioni più o meno simili e in posizione simmetrica rispetto al centro della ruota. Dunque è presumibile che al nostro occhio, durante la rotazione, le due scritte risultino tra loro indistinguibili, e che quindi una mezza rotazione risulti uguale a nessuna rotazione, riportando la macchia bianca nella stessa posizione. Del resto noi vediamo comunque solo la metà superiore delle ruote, mentre il resto è coperto dall’interno della vettura: quindi vediamo comunque una sola macchia bianca per fotogramma.

A questo punto, basta esprimere lo spostamento apparente come la differenza rispetto a un numero intero di mezze rotazioni, e si ottiene che valgono ancora tutte le (dis)equazioni già espresse, ma riferendole a una velocità stazionaria pari a metà di quella precedente: 99 km/h.

C’è poi una ulteriore correzione da fare: in realtà, la velocità della ruota nel punto della scritta non è pari a quella dell’auto, perché la scritta non si trova sul bordo della gomma; trattandosi di una rotazione, tra la velocità lineare della scritta e quella del bordo della gomma – e quindi dell’auto – vi è un rapporto pari a quello tra le distanze dei due punti dal centro della ruota. A occhio, sarà quindi il caso di aggiungere un 10-20% alle velocità indicate.

In pratica, quando vedete la scritta invertire il suo verso apparente di rotazione l’auto ha appena superato la soglia dei 110-120 km/h, oppure dei 220-240 km/h: un modo empirico di misurarne la velocità.

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This entry was posted on martedì, Luglio 8th, 2008 at 11:15 am, and is filed under Mautematica. You can follow any responses to this entry through the RSS 2.0 feed. Both comments and pings are currently closed.